Question

28、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G． 一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B．
（1）在圖1證明：BF=CG；
（2）當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E．證明：DE+DF=CG；
（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平移到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，DE+DF=CG；否仍然成立？若成立說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，利用AAS易證△BAF≌△CAG，從而有BF=CG；
（2）先過D作DH⊥CG于點H，由于DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，易證四邊形EDHG是矩形，那么DE=HG，DH∥BG，根據平行線的性質，結合AB=AC，易得∠FCD=∠GBC=∠HDC，而∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，利用AAS易證△DCH≌△CDF，從而DF=CH，那么DE+DF=GH+CH，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．證法同（2）．

解答：證明：（1）∵∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，
∴△BAF≌△CAG，
∴BF=CG；
（2）如右圖（2），
過D作DH⊥CG于點H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四邊形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
 過D作DH⊥CG于點H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四邊形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG．

點評：本題考查了全等三角形判定和性質、矩形的判定．知道有三個角是直角的四邊形是矩形，解題的關鍵是作輔助線DH．