Question

已知邊長為4的正方形ABCD，頂點A與坐標原點重合，一反比例函數圖象過頂點C，動點P以每秒1個單位速度從點A出發沿AB方向運動，動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發沿正方形的邊DC-CB-BA方向順時針折線運動，當點P與點Q相遇時停止運動，設點P的運動時間為t．
（1）求出該反比例函數解析式．
（2）連接PD，當以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時，求點Q的坐標．
（3）用含t的代數式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積S，并指出相應t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD的邊長為4，
∴C的坐標為（4，4），
設反比例解析式為y=

k

x

，
將C的坐標代入解析式得：k=16，
則反比例解析式為y=

16

x

；

（2）當Q在DC上時，如圖所示：

此時△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=

4

5

，
則DQ=4t=

16

5

，即Q₁（

16

5

，4）；
當Q在BC邊上時，有兩個位置，如圖所示：

若Q在上邊，則△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=

4

3

，
則QB=8-4t=

8

3

，此時Q₂（4，

8

3

）；
若Q在下邊，則△APD≌△BQA，
則AP=BQ，即8-4t=t，解得t=

8

5

，
則QB=

8

5

，即Q₃（4，

8

5

）；
當Q在AB邊上時，如圖所示：

此時△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=

8

3

，
因為0≤t≤

12

5

，所以舍去．
當t=2.4時，P、Q在AB上重合，此時△ADP和△QAD重合，重合時兩三角形肯定全等，
∴Q₄（2.4，0）
綜上，Q1(

16

5

，4)；Q2(4，

8

3

)；Q₃（4，

8

5

），Q₄（2.4，0）
；

（3）S₁=8t（0＜t≤1）；S₂=-2t²+2t+8（1≤t≤2）；S₃=-10t+24（2≤t≤

12

5

）．