Question

如圖，已知對稱軸為直線x=4的拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在B左側(cè)），且點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），過點(diǎn)B的直線交拋物線于點(diǎn)C（3，4）．
（1）寫出點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的BC段上，則x軸上時(shí)否存在點(diǎn)Q，使得以Q、B、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請分別求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個(gè)單位長度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值，以M、N、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，寫出計(jì)算過程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．由B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出DB的長度，根據(jù)拋物線的對稱性就可以求出AD的長度，又知道D點(diǎn)的橫坐標(biāo)就可以求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）利用待定系數(shù)法把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出拋物線的解析式．
（3）∵BQ∥CP，∴可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求出PC的長，∵PC=BQ，就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式BC、AB的長度，再利用相似三角形的對應(yīng)線段成比例就可以求出t的值．

解答：解：（1）設(shè)對稱軸x=4交x軸于點(diǎn)D
∴D（4，0）
∵B（6，0）
∴BD=2，由拋物線的對稱性得：
AD=2
∴A（2，0）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），得
4=a（3-2）（3-6）解得
a=-

4

3

拋物線的解析式為：y=-

4

3

x²+

32

3

x-16

（3）∵四邊形PCQB為平行四邊形
∴PC∥QB，PC=QB
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4
∴4=-

4

3

x²+

32

3

x-16，
解得x=3（不符合題意）或5
∴P（5，4）
∴PC=5-3=2
∴QB=2
∴Q（4，0）或（8，0）
∴P（5，4），Q（4，0）或P（5，4），Q（8，0）；

（4）當(dāng)運(yùn)行t秒時(shí)
∴BN=2t，AM=t，BM=4-t
當(dāng)△BMN∽△BAC
∴

BN

BC

=

BM

AB

∵C（3，4），B（6，0），由兩點(diǎn)間的距離公式得
BC=5
∵A（2，0）
∴AB=4
∴

2t

5

=

4-t

4

，
解得t=

20

13

當(dāng)△BNM∽△BAC時(shí)
∴

BN

BA

=

BM

BC

∴

2t

4

=

4-t

5

，
解得t=

8

7

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了拋物線的對稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．