Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線交BC于D，E為AB上一點，DE=DC，以D為圓心，以DB的長為半徑畫圓．

求證：（1）AC是⊙D的切線；（2）AB+EB=AC．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】試題（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．

（2）先證明△BDE≌△FCD（HL），根據全等三角形對應邊相等及切線的性質的AB=AF，得出AB+EB=AC．

證明：（1）過點D作DF⊥AC于F；（1分）

∵AB為⊙D的切線，AD平分∠BAC，

∴BD=DF，（3分）

∴AC為⊙D的切線．（4分）

（2）∵AC為⊙D的切線，

∴∠DFC=∠B=90°，

在Rt△BDE和Rt△FCD中；

∵BD=DF，DE=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），（6分）

∴EB=FC．（8分）

∵AB=AF，

∴AB+EB=AF+FC，

即AB+EB=AC．（10分）