Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC、BD相交于點M，點M在以AB為直徑的⊙O上，AD與⊙O相交于點E，連接ME．

(1)求證：ME＝MD；

(2)當∠DAB＝30°時，判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)直線CD與⊙O相切.

【解析】

（1）由圓周角定理可得∠AMB＝90°，可證ABCD是菱形，可得AD＝AB，根據等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質可得∠ADB＝∠DEM，即MEI＝DM；

（2）過O作OH⊥CD于H，過D作DF⊥AB于F，由題意可證四邊形OFDH是平行四邊形，可得OH＝DF，根據菱形的性質和直角三角形的性質可得OH＝AB，根據切線的判定，可證直線CD與⊙O相切．

證明：(1)∵AB是⊙O直徑，

∴∠AMB＝90°，

∴ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴∠ADB＝∠ABD，

∵四邊形AEMB是圓內接四邊形，

∴∠DEM＝∠ABD，

∴∠ADB＝∠DEM，

∴ME＝MD．

(2)直線CD與⊙O相切

理由如下：

過O作OH⊥CD于H，過D作DF⊥AB于F，

∵DF⊥AB，AB∥CD，

∴DF⊥CD，且OH⊥CD，

∴OH∥DF，且AB∥CD，

∴四邊形OFDH是平行四邊形，

∴OH＝DF，

∵在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，

∴DF＝AD，

又∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴OH＝DF＝AD＝AB，

又∵OH⊥CD，

∴直線CD與⊙O相切．