Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求此拋物線函數(shù)解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若直線CM與x軸交于點(diǎn)D，E是C關(guān)于此拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由；
（3）若P是該拋物線上異于A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP交y軸正半軸于點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)P使△AOC與△BON相似？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組可得a，b，c的值和拋物線解析式，用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)C（0，-3），M（1，-4），根據(jù)“兩點(diǎn)法”可求直線CM函數(shù)解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)，∵E是C關(guān)于此拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴點(diǎn)E（2，-3），這樣就已知A，D，C，E四點(diǎn)坐標(biāo)，只要判斷線段CE、AD平行且相等即可；
（3）設(shè)N（0，n），n＞0，△AOC與△BON都是直角三角形要求相似，存在兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系：△AOC∽△BON，△AOC∽△NOB，根據(jù)相似比可得N點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線BN解析式與拋物線解析式聯(lián)立可求P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：
（1）把點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax²+bx+c得：

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴拋物線函數(shù)解析式為y=x²-2x-3（3分）
頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）（4分）

（2）∵點(diǎn)C（0，-3），M（1，-4）
∴直線CM函數(shù)解析式為y=-x-3
∴直線CM與x軸交于點(diǎn)D（-3，0），（6分）
∵E是C關(guān)于此拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴點(diǎn)E（2，-3）
∴CE=AD=2，
又∵CE∥AD
∴四邊形ADCE是平行四邊形．（8分）

（3）存在點(diǎn)P使△AOC與△BON相似，P₁（-

4

3

，

13

9

），P₂（-4，21）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，平行四邊形的判斷，尋找三角形相似的條件等知識(shí)，充分體現(xiàn)形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．