Question

【題目】如圖，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AC，連接BC，作△ABC的外接圓⊙O，點(diǎn)P為劣弧上的一個(gè)動點(diǎn)，弦AB、CP相交于點(diǎn)D．

（1）求∠APB的大小；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，PD⊥AB？并求此時(shí)CD：CP的值；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，比較PC與AP+PB的大小關(guān)系，并對結(jié)論給予證明．

Answer 1

【答案】(1)、120°；(2)、3:4；(3)、PC=AP+PB；證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、先根據(jù)題意判斷出△ABC是等邊三角形，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)可知∠APB+∠ACB=180°，進(jìn)而可得出結(jié)論；(2)、連接PC，OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則CP=2r，根據(jù)⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可用r表示出OD，CD的值，進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)、在AP的延長線上取點(diǎn)Q，使PQ=PB，連接BQ，可判斷出△BPQ是等邊三角形，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

試題解析：(1)、∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等邊三角形，∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°

(2)、當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到的中點(diǎn)時(shí)，PD⊥AB， 如圖1，連接PC，OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則CP=2r，

又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓， ∴∠OAB=30°， 在Rt△OAD中， ∵OD=OA=，

∴CD=+r=， ∴CD：CP=：2r=3：4；

(3)、PC=AP+PB

方法一： 如圖2，在AP的延長線上取點(diǎn)Q，使PQ=PB，連接BQ， ∵∠APB=120°，

∴∠BPQ=60°， ∴△BPQ是等邊三角形， ∴PB=BQ， ∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP， ∴∠ABQ=∠CBP， 在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB， ∴△ABQ≌△CBP， ∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；

方法二：如圖3，B為圓心，BP為半徑畫圓交CP于點(diǎn)M，連接BM， ∵∠CPB=60°，

∴△PBM是等邊三角形， ∵∠CMB=120°， ∴∠CMB=∠APB， ∴△APB≌△CMB， ∴PC=AP+PB；

方法三：（略證）如圖4，以A為圓心，A為半徑畫圓交CP于N，連接AN，

先證△APN是等邊三角形，再證△ANC≌△APB， 從而PC=AP+PB．