Question

有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點（但不與頂點重合），若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設AB=m，AD=n，BE=x．
（1）求證：AF=EC；
（2）用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EE′B′C．當x：n為何值時，直線E′E經過原矩形的頂點D．

Answer 1

分析：（1）根據題知，EF將矩形分割為兩個面積相等的梯形，而且兩個梯形腰相等，利用面積相等易證；
（2）可先假設直線E′E經過原矩形的頂點D，再根據梯形紙片沿著AB翻折后可知DC=BC=m，然后利用中位線定理可知DE=E′E 2EC=E′B′然后分別代入可求：

解答：（1）證明：∵EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，
∴

1

2

（x+AF）•m=

1

2

（n-x+n-AF）•m，（2分）
∴2AF=2n-2x，
∴AF=n-x，（3分）
又∵EC=BC-BE=n-x，
∴AF=EC；（4分）

（2）解：當直線E′E經過原矩形的頂點D時，如圖
∵DC=B′C=m，EC∥E′B′，
∴DE=E′E．
∴2EC=E′B′．
即2（n-x）=x，
∴2n=3x．（7分）
∴x：n=2：3．（9分）

點評：本題涉及矩形的性質，解答此類題的關鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結論，挖掘它的內在聯系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結論．而不是思維定勢只利用傳統思維的直接求證方式．