Question

【題目】如圖1，已知點、在直線上，且，于點，且，以為直徑在的左側作半圓，于，且，

（1）若半圓上有一點，則的最大值為__________，最小值為__________；

（2）向右沿直線平移得到；

①如圖2，若截半圓的弧的長為，求的度數；

②當半圓與的邊相切時，求平移距離．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①75°；②或.

【解析】

（1）當和重合時，最大，用勾股定理可求；連接，此時最小，為；

（2）①連接，，依據弧長公式，求出，證得是等邊三角形，求出，得出，依據平行線的判定及性質求出，依據等腰直角三角形的性質求出，最后求得；

②分、分別與半圓相切兩種情況討論，依據切線的性質與判定、切線長定理、銳角三角函數求解即可.

解：（1）當和重合時，的最大值為,由勾股定理計算得，

連接，此時最小，為=；

故答案為：，；

（2）①連接，，

∵弧的長為

∴

又∵，

∴是等邊三角形，

∴

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴

又∵，

∴，

∴；

②當切半圓于時，連接，則，

∵，

∴切半圓于點，

∴

又∵，

∴，

平移距離為

當切半圓于時，連接并延長交于點，

∵，，，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

∴平移距離為.

綜上所述：平移距離為或.