Question

【題目】關于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和關于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均為實數），方程①的解為非正數．

（1）求k的取值范圍；

（2）如果方程②的解為負整數，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k為整數，求整數m的值；

（3）當方程②有兩個實數根x1、x2，滿足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k為正整數，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m＝﹣2或﹣3；（3）成立，見解析

【解析】

（1）先解出方程①的解，根據一元二次方程的定義和方程①的根為非正數，得出k的取值范圍，即可；

（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化簡，通過因式分解法，用含m的代數式表示出一元二次方程的兩個實數根，根據方程②的解為負整數，m為整數，即可求出m的值；

（3）根據（1）中k的取值范圍和k為正整數得出k＝2，化簡一元二次方程，并將兩根和與積代入計算，得出關于m、n的等式，結合根的判別式，即可得到結論．

（1）∵關于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，

解得：x＝2k﹣4，

∵關于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解為非正數，

∴2k﹣4≤0，解得：k≤2，

∵由一元二次方程②，可知k≠1，

∴k≤2且k≠1；

（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，

∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，

∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，

因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，

∴x1＝﹣=，x2＝﹣1，

∵方程②的解為負整數，m為整數，

∴m+1＝﹣1或﹣2，

∴m＝﹣2或﹣3；

（3）|m|≤2成立，理由如下：

由（1）知：k≤2且k≠1，

∵k是正整數，

∴k＝2，

∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有兩個實數根x1、x2，

∴x1+x2＝ ＝﹣2m，x1x2＝ ＝1+n，

∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，

∴2m2＝n+5 ①，

△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，

把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，

∴|m|≤2．