Question

（2012•鄖縣三模）如圖，已知△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，過點D作DF⊥BC，垂足為F，E為AC中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求DF的長；
（3）在BC上是否存在一點P，使DP+EP最小？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DE，則可得ED=EA=EC，從而可得∠ECD=∠EDC，再由OC=OD，可得∠OCD=∠ODC，結合∠ECD+∠OCD=90°可證明OD⊥ED，繼而可得出結論；
（2）根據△BCD∽△BAC，可得出BD的長度，然后根據△BDF∽△BAC，可求出DF的長度．
（3）延長DF交圓O于點H，連接ED'，則ED'與BC的交點即是點P的位置，然后求出CF，結合△ECP∽△D'FP可求出CP的長度．

解答：解：（1）連接OD，

∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°，也可得出∠CDA=90°，
又∵點E是AC的中點，
∴ED=EC=EA，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
又∵∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴OD⊥ED，
故DE是⊙O的切線．
（2）∵AB=10，BC=8，AC=6，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠BCA=90°，
∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，即

BD

8

=

8

10

，
解得：BD=

32

5

，
又∵∠B=∠B，∠BFD=∠BCA=90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴

BD

BA

=

DF

AC

，即

BD

10

=

DF

6

，
解得：DF=

96

25

．
（3）

∵∠DCF=∠BAC，∠DFC=∠BDC=90°，
∴△BAC∽△DCF，
∴

CF

AC

=

DF

BC

，即

CF

6

=

DF

8

，
解得：CF=

72

25

，
∵∠BCA=∠CFD'=90°，∠EPC=∠D'PF，
∴△ECP∽△D'FP，
從而

CP

PF

=

CE

FD′

，即

CP

PF

=

3

96 25

=

25

32

，
又∵CP+FP=CP=

72

25

，
∴CP=

24

19

．即點P的位置在距離C點右方

24

19

遠處．

點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理、軸對稱求最短路徑的問題，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是熟練各個知識點的內容，將所學的知識融會貫通．