Question

（2010•房山區二模）（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC于點G，CH⊥BD于點H，試證明CH=EF+EG；
（2）若點E在BC的延長線上，如圖2，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC的延長線于點G，CH⊥BD于點H，則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；
（3）如圖3，BD是正方形ABCD的對角線，L在BD上，且BL=BC，連接CL，點E是CL上任一點，EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；
（4）觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明CH=EF+EG，首先要想到能否把線段CH分成兩條線段而加以證明，就自然的想到添加輔助線，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明顯只需證明EG=CN，最后根據AAS可求證△EGC≌△CNE得出結論．
（2）過C點作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因為HC=FO，所以只需證明EO=EG，最后根據AAS可求證△COE≌△CGE得出猜想．
（3）連接AC，過E作EG作EH⊥AC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明顯只需證明EG=CH，最后根據AAS可求證△CHE≌△EGC得出猜想．
（4）點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高，很顯然過C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求證△CEP≌△CNP，故CG=PF-PN．
解答：（1）證明：過E點作EN⊥CH于N．
∵EF⊥BD，CH⊥BD，
∴四邊形EFHN是矩形．
∴EF=NH，FH∥EN．
∴∠DBC=∠NEC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且互相平分
∴∠DBC=∠ACB
∴∠NEC=∠ACB
∵EG⊥AC，EN⊥CH，
∴∠EGC=∠CNE=90°，
又∵EC=CE，
∴△EGC≌△CNE．
∴EG=CN
∴CH=CN+NH=EG+EF；

（2）解：猜想CH=EF-EG；

（3）解：EF+EG=BD；

（4）解：點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高．如圖①，有CG=PF-PN．

點評：此題主要考查矩形的性質和判定，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造矩形和三角形全等來進行證明．