Question

【題目】如圖，直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x﹣1，與拋物線交于點(diǎn)A（在x軸上）、點(diǎn)D，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為B（3，0），拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，﹣3），

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；

（3）若點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)G是直線AD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）點(diǎn)H拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使A、D、H、Q這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）當(dāng)x=時(shí)，PE有最大值，最大值為；

（3）存在點(diǎn)P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在點(diǎn)Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)直線解析式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用拋物線解析式表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，整理即可得到PE的表達(dá)式，再聯(lián)立直線解析式與拋物線解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）把拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并利用對(duì)稱軸根據(jù)點(diǎn)P在直線上求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等列式解方程即可判斷并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）①當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，可得點(diǎn)H的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，再求出HD的長度，然后分點(diǎn)Q在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，AQ只能是平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)得到點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)表示的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離等于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)表示的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離相等求解即可．

試題解析：（1）令y=0，則﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在拋物線上，∴，解得，所以，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x﹣1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），

PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），

=﹣x﹣1﹣x2+2x+3，

=﹣x2+x+2，

=﹣（x﹣）2+，聯(lián)立，解得，，

所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣3），

∵P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴﹣1＜x＜2，

∴當(dāng)x=時(shí)，PE有最大值，最大值為；

（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，﹣4），點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，

y=﹣1﹣1=﹣2，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），

∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，

∵四邊形GFEP為平行四邊形，

∴PE=GF，

∴﹣x2+x+2=2，

解得x1=0，x2=1（舍去），

此時(shí)，y=﹣1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1），

故，存在點(diǎn)P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在．理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，∵點(diǎn)Q在x軸上，

∴HD∥AQ，

∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D相同，是﹣3，

此時(shí)，x2﹣2x﹣3=﹣3，

整理得，x2﹣2x=0，

解得x1=0，x2=2（舍去），

∴HD=2﹣0=2，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

﹣1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)稱性，點(diǎn)H到AQ的距離等于點(diǎn)D到AQ的距離，

∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為﹣3，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為3，∴x2﹣2x﹣3=3，

整理得，x2﹣2x﹣6=0，

解得x1=1﹣，x2=1+，

∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，

2﹣（﹣1）=2+1=3，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4﹣，0）或（4+，0），

綜上所述，存在點(diǎn)Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．