Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，當(dāng)m＝時(shí)，△BNC的面積最大，最大值為

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為MN的長(zhǎng)；

（3）根據(jù)題（1）（2）的結(jié)論，列出關(guān)于m的表達(dá)式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值即可.

（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，代入得：

，解得：

則拋物線的解析式為；

（2）由拋物線可知，

因此，設(shè)直線BC的解析式為：

代入得

解得：

則直線BC的解析式：

已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且軸，則；

則

故MN的長(zhǎng)為；

（3）存在點(diǎn)M，使的面積最大

如圖，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D

則

即

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，隨m的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨m的增大而減小

則當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.