Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．
①寫出點M′的坐標；
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2 ， 當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函數解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，

∵M在拋物線上，且在第一象限內，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴A的坐標為（1，0），

由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），

S=S四邊形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

= ×m×3+ ×1×（﹣m2+2m+3）﹣ ×1×3

=﹣ （m﹣ ）2+

∴當m= 時，S取得最大值

（3）

解：①由（2）可知：M′的坐標為（ ， ）；

②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，

根據題意知：d1+d2=BF，

此時只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴點F在以BM′為直徑的圓上，

設直線AM′與該圓相交于點H，

∵點C在線段BM′上，

∴F在優弧 上，

∴當F與M′重合時，

BF可取得最大值，

此時BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），

∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，

過點M′作M′G⊥AB于點G，

設BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，

∴x= ，

cos∠M′BG= = ，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

方法二：過B點作BD垂直于l′于D點，過M點作ME垂直于l′于E點，則BD=d1，ME=d2，

∵S△ABM= ×AC×（d1+d2）

當d1+d2取得最大值時，AC應該取得最小值，當AC⊥BM時取得最小值．

根據B（0，3）和M′（ ， ）可得BM′= ，

∵S△ABM= ×AC×BM′= ，∴AC= ，

當AC⊥BM′時，cos∠BAC= = = ，

∴∠BAC=45°．

【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值；（2）設M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），然后根據面積關系將△ABM的面積進行轉化；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值；②可將求d1+d2最大值轉化為求AC的最小值．