Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+ax+c與y軸交于點C（0，2），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動點，N是線段OC上一動點，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當△MNC的面積最大時，求點M、N的坐標．
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得
解得
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²-x+2

（2）設點M的坐標為（m，0），則OM=m，ON=2m，CN=2-2m．
S_△MNC=NC•OM=（2-2m）•m=-m²+m=-（m-）²+
由-x²-x+2=0
得x₁=-2，x₂=1．
∴點B的坐標為（1，0）．
則0＜m＜1，
∴當m=時，S_△MNC有最大值
此時，點M的坐標為（，0），點N的坐標為（0，1）．

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1．
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45度．
∴∠DFA=∠OAC=45度．
∴∠ADF=90度．此時，點F的坐標為（-1，1）．
由-x²-x+2=1，x；₁=，x₂=此時，
點P的坐標為：（，1）或（，1）
②若FO=FD，過點F作FE⊥x軸于點E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=．
∴F（-，）
由-x²-x+2=，
得x₁=，x₂=此時，
點P的坐標為：（，）或（，）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2．
∴點O到AC的距離為，而OF=OD=1＜，
此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點P的坐標為：（，1）或（，1）或（，）或（，）．
分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線中進行求解即可．
（2）先根據拋物線的解析式求出B點的坐標，即可求出OB的長，然后設M的坐標為（m，0），可用m表示OM和NC的長，然后根據三角形的面積公式即可得出關于△CMN的面積與m之間的函數關系式，根據函數的性質和m的取值范圍即可求出△CNM的最大值及對應的M、N的坐標．
（3）本題要分三種情況進行討論：
①OF=DF，此時F必在OD的垂直平分線上，即F的橫坐標為-，可根據直線AC的解析式求出F點的坐標，然后將F的縱坐標代入拋物線中即可求出P點的坐標．
②OD=DF，DF=1，易知：OA=OC=2，因此AD=OD=DF=1，三角形AFO為等腰直角三角形，因此可得出F（-1，1），后同①．
③當OD=DF=1時，②中已經得出△OAC為等腰直角三角形，因此O到AC的距離為＞1，因此這種情況不成立．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、等腰三角形的判定等知識點，綜合性強，考查學生分類討論、數形結合的數學思想方法．