Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線的頂點為，與軸的交點為．

（1）求點，的坐標；

（2）已知點(4，2)，將拋物線向上平移得拋物線，點平移后的對應點為，且，求拋物線的解析式；

（3）將拋物線：沿軸翻折，得拋物線，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，平行于軸的直線與拋物線交于點(，)，(，)，與直線交于點(，)，若＜＜，結合函數的圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）M（－2，－1），N（0，3）；（2）拋物線的解析式為：；（3）．

【解析】

（1）將解析式化成頂點式可得M的坐標，求出x＝0時y的值可得N的坐標；

（2）設拋物線的解析式為：，則，過點P作PH⊥于點H，可得PH＝4，N′H＝m－2，根據勾股定理構建方程求出m即可；

（3）求出拋物線的解析式，可得點A、B、D的坐標及的值，求出直線BD的解析式，根據結合函數圖象可得的取值范圍，進而可得答案．

解：（1）∵，

∴M（－2，－1），

當x＝0時，，

∴N（0，3）；

（2）設拋物線的解析式為：，則，

過點P作PH⊥于點H，

∵(4，2)，

∴PH＝4，N′H＝m－2，

∵，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（3）∵拋物線的頂點坐標為（－2，－1），

∴拋物線的頂點坐標為（2，－1），

∴拋物線的解析式為：，

令y＝0，得，

解得：，，

∴A（1，0），B（3，0），

令x＝0，得，

∴D（0，3），

設直線BD的解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

則，解得：，

∴直線BD的解析式為：y＝－x＋3，

∵拋物線的對稱軸為：，

∴，

令y＝－x＋3＝－1，解得：x＝4，

∵，

結合函數圖象得：，

∴，

即的取值范圍為：．