Question

如圖，直線l₁：y=-x+1與兩直線l₂：y=2x，l₃：y=x分別相交于M、N兩點．設點P為x軸上的一點，過點P的直線l：y=-x+b與直線l₂、l₃分別交于A、C兩點，以線段AC為對角線作正方形ABCD．
（1）寫出正方形ABCD各頂點的坐標（用b表示）；
（2）當點P從原點O出發，沿著x軸的正方向運動時，設正方形ABCD和△OMN重疊部分的面積為S，求S與b之間的函數關系式，并寫出自變量b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立y=-x+b，y=2x求出點A，C的坐標．同理求出B，D的坐標．
（2）本題考查的是分段函數的有關知識．當D在l₁上是b=

6

7

，B在l₁上是b=

6

5

；然后根據實際分成0＜b≤

6

7

；

6

7

＜b＜1；b≥

6

5

時三種情況，S的面積都不同．

解答：解：（1）由

(2)y=-x+b (3)y=2x(4)

，（5分）
得

(6)x= 1 3 b (7)y= 2 3 b(8)

，（9分）
∴A(

1

3

b，

2

3

b)，
同理C(

1

2

b，

1

2

b)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DC∥y軸，AD∥BC∥x軸，
可得B(

1

3

b，

1

2

b)，D(

1

2

b，

2

3

b)；（4分）

（2）當D在l₁（11）上時（如圖1），b=

6

7

（12），
當B在l₁（13）上時（如圖2），b=

6

5

；（6分）

當0＜b≤

6

7

時（如圖1、3），直線l在直線l₁上或下方，點D在直線l₁上或下方，
∵正方形ABCD的邊長AB=|

1

2

b-

2

3

b|=

1

6

b，
∴S=

1

36

b2；（8分）
當

6

7

＜b＜1時（如圖4），直線l在直線l₁下方，點D在直線l₁上方，
設DC與直線l₁交于點E，則E(

1

2

b，1-

1

2

b)DE=|1-

1

2

b-

2

3

b|=

7

6

b-1，
S=

1

36

b2-

1

2

(

7

6

b-1)2=-

47

72

b2+

7

6

b-

1

2

；（10分）
當1≤b＜

6

5

時，直線l在直線l₁上或上方，且點B在l₁下方，（如圖5），若設AB與直線l₁交于點F，則F(

1

3

b，1-

1

3

b)，BF=1-

5

6

b，
∴S=

1

2

(1-

5

6

b)2=

25

72

b2-

5

6

b+

1

2

；（12分）
當b≥

6

5

時，直線l在直線l₁上方，且點B在l₁上或上方（如圖2），S=0．（14分）

點評：本題考查的是一次函數的綜合應用，重點是考查考生考慮問題的能力，要學會全面分析題目然后才得解．