Question

【題目】已知如圖，是的直徑，點在上，且，點是外一點，與相切于點，連接，過點作交于點，連接交于點．

（1）求證：；

（2）求證：是的切線；

（3）若，，連接，求的長；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用平行證出△BOD∽△BAC，然后列出比例式即可求出結論；

（2）連接OC，利用SAS證出△BOM≌△COM，從而證出∠OBM=∠OMB，然后根據切線的性質即可證出結論；

（3）過點A作AE⊥PC于E，根據相似三角形的判定定理證出△DOC∽△DCM，列出比例式即可求出CD，根據勾股定理求出OC，從而求出AB，然后利用銳角三角函數求出PA、AE和CE，從而求出結論．

解：（1）∵，AB=2OB

∴△BOD∽△BAC

∴

∴；

（2）連接OC

∵

∴∠BOM=∠BAC

∵

∴∠BOC=2∠BAC=2∠BOM

∴∠BOM=∠COM

在△BOM和△COM中

∴△BOM≌△COM

∴∠OBM=∠OMB

∵與相切于點，

∴∠OBM=90°，

∴∠OMB=90°

∴是的切線；

（3）過點A作AE⊥PC于E

∵AB為直徑

∴∠ACB=∠APB=90°

∵，

∴∠CDM=∠ACB =90°，∠ODC=90°

∵∠OCM=90°，

∴∠DOC＋∠OCD=90°，∠DCM＋∠OCD=90°

∴∠DOC=∠DCM

∴△DOC∽△DCM

∴

即

解得：CD=12

根據勾股定理可得OC=

∴AB=2OC=30

由（1）知AC=2OD=18

∵

∴△PAB為等腰直角三角形，

∴∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠ACP=∠PBA=45°，PA=AB·sin∠PBA=

∴△ACE為等腰直角三角形

∴∠ECA=45°

∴CE=AE=AC·sin∠ECA=

根據勾股定理PE=

∴PC=PE＋CE=