Question

已知：如圖，拋物線與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線 與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由A（4，0），B（-2，0），設拋物線解析式為y=a（x-4）（x+2），
將C（0，4）代入拋物線解析式得：4=a（0-4）（0+2），
解得：a=-，
則拋物線解析式為y=-（x-4）（x+2）=-x²+x+4；

（2）設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G，

∵A（4，0），B（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴=，即=，
∴EG=，
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=BQ•CO-BQ•EG
=（m+2）（4-）
=-m²+m+
=-（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴當m=1時，S_△CQE有最大值3，此時Q（1，0）；

（3）存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形，理由為：
在△ODF中，分三種情況考慮：
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此時，點F的坐標為（2，2），
由-x²+x+4=2，
解得：x₁=1+，x₂=1-，
此時，點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）；
②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，

由等腰三角形的性質得：OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（1，3），
由-x²+x+4=3，
解得：x₁=1+，x₂=1-，
此時，點P的坐標為：P（1+，3）或P（1-，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴點O到AC的距離為2，而OF=OD=2＜2，與OF≥2矛盾，
所以AC上不存在點使得OF=OD=2，
此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．
分析：（1）由拋物線與x軸的兩交點A和B的坐標，設出拋物線解析式為y=a（x-4）（x+2），將C坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）可先設Q的坐標為（m，0）；通過求△CEQ的面積與m之間的函數關系式，來得出△CQE的面積最大時點Q的坐標．△CEQ的面積=△CBQ的面積-△BQE的面積．可用m表示出BQ的長，然后通過相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ邊上的高，進而可根據△CEQ的面積計算方法得出△CEQ的面積與m的函數關系式，可根據函數的性質求出△CEQ的面積最大時，m的取值，也就求出了Q的坐標；
（3）本題要分三種情況進行求解：①當OD=OF時，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是個等腰直角三角形，于是可得出F的坐標應該是（2，2），由于P，F兩點的縱坐標相同，因此可將F的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標；②當OF=DF時，如果過F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的縱坐標，然后根據①的方法求出P的坐標；③當OD=OF時，OF=2，由于O到AC的最短距離為2，因此此種情況是不成立的，綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合題：點在拋物線上，則點的橫縱坐標滿足其二次函數解析式；通過幾何關系列出二次函數關系式，并配成拋物線的頂點式y=a（x-h）²+k，當a＜0，x=h，y有最大值k．也考查了三角形相似的判定與性質．要注意的是（3）中不確定等腰三角形的腰是哪些線段時，要分類進行討論．