Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，連接DE交AC于F
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）求證：DF∥AB，DF=

1

2

AB．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，得∠B=∠ACB，又有外角及角平分線的性質可得AN∥BC，再由垂直關系即可得出結論．
（2）由矩形的對角線相等且互相平分，得出∠FDC=∠FCD=∠B，即可DF∥AB，再由中位線定理可得DF=

1

2

AB．

解答：證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠ACB，
又∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC=∠MAN=∠ACB，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=

1

2

×180°=90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；

（2）∵四邊形ADCE為矩形，
∴∠FDC=∠FCD，
∴∠FDC=∠B，
∴DF∥AB，
∵D是BC的中點，F是AC的中點，
∴在△ABC中，DF=

1

2

AB．

點評：本題主要考查了平行線的判定及三角形外角的性質和角平分線的性質等，能夠掌握并熟練運用．