Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，連接BE并延長交CD的延長線于點F，連接AC．
（1）試說明D是CF的中點．
（2）如果將平行四邊形ABCD改為正方形，試判斷△ACF的形狀．（直接寫出結果，不需要證明）

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，根據平行四邊形的性質，易得CD=AB，易證得△ABE≌△DFE，即可證得AB=DF，繼而可得D是CF的中點．
（2）由四邊形ABCD是正方形，易得∠CAD=45°，AD是CF的垂直平分線，繼而可得△ACF是等腰直角三角形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，

∠ABE=∠F ∠AEB=∠DEF AE=DE

，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF，
∴CD=DF，
即D是CF的中點；

（2）△ACF是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，AD⊥CF，
∵CD=DF，
∴AC=AF，∠FAD=∠CAD=45°，
∴∠CAF=∠CAD+∠FAD=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、正方形的性質、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及線段垂直平分線的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．