Question

（2013•武漢模擬）先閱讀并完成第（1）題，再利用其結論解決第（2）題．
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實根為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．這個結論是法國數學家韋達最先發現并證明的，故把它稱為“韋達定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x₁+x₂和 x₁•x₂的值，進而求出相關的代數式的值．
請你證明這個定理．
（2）對于一切不小于2的自然數n，關于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的兩個根記作a_n，b_n（n≥2），
請求出

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

+…+

1

(a2011-2)(b2011-2)

的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

求得該方程的兩個實數根，然后再來求得x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
（2）由根與系數的關系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
則

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），然后代入即可求解．

解答：解：（1）根據求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

知，
x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
故有x₁+x₂=

-b+ b2-4ac

2a

+

-b- b2-4ac

2a

=-

b

a

，x₁•x₂=

-b+ b2-4ac

2a

×

-b- b2-4ac

2a

=

c

a

；

（2）∵根與系數的關系知，a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
∴（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

+…+

1

(a2011-2)(b2011-2)

=-

1

2

[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2010

-

1

2011

）]
=-

1

2

×（

1

2

-

1

2011

）
=-

2019

8044

．

點評：本題考查了根與系數的關系．在證明韋達定理時，借用了求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

．