Question

【題目】在△ABC中，∠ACB是銳角，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接EC．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：若AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)D在線段BC上時（不與點(diǎn)B重合），如圖①所示，請你直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是_____，_____；

（2）猜想論證：

在（1）的條件下，當(dāng)D在線段BC的延長線上時，如圖②所示，請你判斷（1）中結(jié)論是否成立，并證明你的判斷．

（3）拓展延伸：

如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，試探究：當(dāng)銳角∠ACB等于_____度時，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍成立（點(diǎn)C、E重合除外）？此時若作DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F，且當(dāng)AC=3時，請直接寫出線段CF的長的最大值是_____

Answer 1

【答案】 CE=BD，CE⊥BD CE=BD，CE⊥BD 45°，．

【解析】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

故答案為：CE=BD，CE⊥BD；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2，

∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

（3）

過A作AM⊥BC于M，過E點(diǎn)作EN垂直于MA延長線于N，如圖3，

∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠NEC=90°，

∴四邊形MCEN為矩形，

∴NE=MC，∴AM=MC，

∴∠ACB=45°，

∵四邊形MCEN為矩形，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴，設(shè)DC=x，

∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3，

∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴，

∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴當(dāng)x=時有最大值，最大值為．

故答案為：45°，．