Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）如圖①，在D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）連接DE，當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？
（3）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 AEA′D為菱形？

Answer 1

分析：（1）由“在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對(duì)邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖①′，當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，此時(shí) AE=

1

2

AD，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；
③如圖①″，當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°-∠A=30°，此時(shí)AD=

1

2

AE，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；
（3）如圖②，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，則t=12-2t，所以t=4．即當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形．

解答：解：（1）如圖①∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=

1

2

CD=

1

2

×2t=t．
∵AE=t，
∴DF=AE．
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖①′，當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，
此時(shí) AE=

1

2

AD，
∴t=

1

2

(12-2t)，
∴t=3；
③如圖①″，當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=

1

2

AE，
∴12-2t=

1

2

t，
∴t=

24

5

；
綜上：當(dāng)t=3秒或t=

24

5

秒時(shí)，△DEF為直角三角形；

（3）如圖②，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，
∴t=12-2t，
∴t=4．
∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形綜合題．解題時(shí)，需要綜合運(yùn)用矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)．另外，解題時(shí)，需要分類討論．