Question

【題目】某數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究：

問題發現：如圖1，在等邊三角形ABC中，點M是邊BC上任意一點，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，證明：BM=CN．

變式探究：如圖2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，點M為邊BC上任意一點，以AM為腰作等腰三角形AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，連接CN，請求出的值．（用含α的式子表示出來）

解決問題：如圖3，在正方形ADBC中，點M為邊BC上一點，以AM為邊作正方形作AMEF，N為正方形AMEF的中心，連接CN，若正方形AMEF的邊長為，CN=，請你求正方形ADBC的邊長．

Answer 1

【答案】問題發現：證明見解析；變式探究：2sin ；解決問題：3

【解析】

試題分析：問題發現：根據△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC﹣∠CAM=∠MAN﹣∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．

變式探究：根據△ABC，△AMN為等腰三角形，得到=1且∠ABC=∠AMN，證明△ABC～△AMN，得到，利用等腰三角形的性質BA=BC，得到，，證明△ABM～△ACN，得到，作BD⊥AC，如圖2，再由AB=BC，得到∠ABD=，根據sin∠ABD=，得到AD=ABsin，則AC=2AD=2ABsin，從而得到=2sin．

解決問題：利用四邊形ADBC，AMEF為正方形，得到∠ABC=∠BAC=45°∠MAN=45°，即∠BAM=∠CAN，由，得到，證明△ABM～△ACN，得到，進而得到=cos45°=，求出BM=2，設AC=x，利用勾股定理，在Rt△AMC，AC2+CM2=AM2，即x2+（x﹣2）2=10，解得：x1=3，x2=﹣1（舍去），即可解答．

解：問題發現，

∵△ABC，△AMN為等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°

∴∠BAC﹣∠CAM=∠MAN﹣∠CAM，

∴∠BAM=∠CAN，

在△BAM與△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN，

∴BM=CN．

變式探究：∵=1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN，

∴，

∵AB=BC，

∴，

∵AM=MN

∴，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴，

作BD⊥AC，如圖2，

∵AB=BC，

∴∠ABD=，

∴sin∠ABD=，

∴AD=ABsin

∴AC=2AD=2ABsin，

∴=2sin

解決問題：

如圖3，連接AB，AN．

∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵，

∴，

∴△ABM～△ACN，

∴

∴=cos45°=，

∴

∴BM=2，

設AC=x，

在Rt△AMC，

AC2+CM2=AM2

即x2+（x﹣2）2=10，

解得：x1=3，x2=﹣1（舍去），

答：邊長為3．