Question

已知直線y=ax+c與拋物線y=ax²+bx+c（a≠0，b≠0）分別相交于A（0，C），B（1-b，m）兩點，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于C，D兩點，頂點為P．
（1）求a的值．
（2）如果CD=2，當-1≤x≤1時，拋物線y=ax²+bx+c的最大值與最小值的差為4，求點的B坐標．

Answer 1

分析：（1）把B點坐標分別代入兩個函數解析式得到a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，再易項后分解因式得到（1-b）•b•（a-1）=0，然后根據條件可得到a=1；
（2）先利用根與系數的關系表示CD=

b2-4ac

|a|

，則

b2-4c

=2，即b²-4c=4，則可確定拋物線的頂點式為y=（x+

b

2

）²-1，對稱軸為直線x=-

b

2

，
且當x=1時，y=1+b+c；當x=-1時，y=1-b+c，然后分類討論：當-

b

2

＞1，根據二次函數的性質得1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；當0＜-

b

2

≤1，根據二次函數的性質得1-b+c-（-1）=4，則c=2+b，把c=2+b代入b²-4c=4可解得b₁=6（舍去），b₂=-2；把b=-2代入c=2+b得c=0，再計算出m=a（1-b）+c=3，于是得到B點坐標為（3，3）；同類可得當-

b

2

＜-1，解得b=2（舍去）；當-1≤-

b

2

＜0，可確定B點坐標為（-1，-1）．

解答：解：（1）把B（1-b，m）分別代入y=ax+c和y=ax²+bx+c得m=a（1-b）+c，m=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴（1-b）•b•（a-1）=0，
∵b≠0，1-b≠0，
∴a=1；

（2）設C點坐標為（x₁，0），D點坐標為（x₂，0），
∵CD=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4• c a

=

b2-4ac

|a|

，
∴

b2-4c

=2，即b²-4c=4，
∴拋物線的頂點的縱坐標為

4ac-b2

4a

=-1，
∴拋物線的解析式為y=（x+

b

2

）²-1，對稱軸為直線x=-

b

2

，
x=1時，y=1+b+c；x=-1時，y=1-b+c，
當對稱軸在直線x=1的右側，即-

b

2

＞1，解得b＜-2，
1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；
當對稱軸在直線x=1的左側（或與x=1重合），y軸的右側，即0＜-

b

2

≤1，解得-2≤b＜0，
1-b+c-（-1）=4，c=2+b，
把c=2+b代入b²-4c=4得b²-4b-12=0，解得b₁=6（舍去），b₂=-2；
把b=-2代入c=2+b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-（-2）+0=3，
∴B點坐標為（3，3）；
當對稱軸在直線x=-1的左側，即-

b

2

＜-1，解得b＞2，
1+b+c-（1-b+c）=4，解得b=2（舍去）；
當對稱軸在直線x=-1的右側（或與x=-1重合），y軸的左側，即-1≤-

b

2

＜0，解得0＜b≤2，
1+b+c-（-1）=4，c=2-b，
把c=2-b代入b²-4c=4得b²+4b-12=0，解得b₁=-6（舍去），b₂=2；
把b=2代入c=2-b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-2）+0=-1
∴B點坐標為（-1，-1），
∴B點坐標為（-1，-1）或（3，3）．

點評：本題考查了二次函數的綜合題：會求拋物線與直線的交點坐標、拋物線與x軸的兩交點之間的距離；掌握拋物線的增減性和最值問題；會運用分類討論的思想解決問題．