Question

如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發區A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°，新開發區B到公路MN的距離BC=3千米。

（1）新開發區A到公路MN的距離；
（2）現要在MN上某點P處向新開發區A，B修兩條公路PA，PB，使點P到新開發區A，B的距離之和最短，請你用尺規作圖在圖中找出點P的位置（不用證明，不寫作法，保留作圖痕跡），并求出此時PA+PB的值。

Answer 1

解：（1）∵BC=3，∠AOC=30°，
∴OB=6，
過點A作AE⊥MN于點E，AO=AB+OB=16，
∴AE=8，
即新開發區A到公路的距離為8千米；
（2）畫圖“略”，
過D作DF⊥AE的延長線（點D是點B關于MN的對稱點），
垂足為F，過B作BG⊥AE于G，
∴BG=DF，EF=CD=BC=3，
∵BG=AB·cos30°=，
又AF=AE+EF=8+3=11，
∴，
連結PB，則PB=PD，
∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）。