Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC的中點，AE與對角線BD交于點F．

（1）求證：DF=2BF；
（2）當∠AFB=90°且tan∠ABD= 時，若CD= ，求AD長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，

∵點E為BC的中點，

∴BE= BC= AD，

∵AD∥BC，

∴△BEF∽△DAF，

∴ = ，

∴DF=2BF

（2）解：∵CD= ，

∴AB=CD= ，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∴tan∠ABD= = ，

∴設AF=x，則BF=2x，

∴AB= = x= ，

∴x=1，AF=1，BF=2，

∵DF=2BF，

∴DF=4，

∴AD= =

【解析】（1）由平行四邊形的性質的出AD∥BC，AD=BC，AB=CD，再據相似三角形的判定定理得△BEF∽△DAF，最后由相似三角形的對應邊成比例得出DF=2BF；（2）由平行四邊形的性質對邊相等得出AB=CD，再Rt△ABF中由銳角三角函數，及勾股定理得出AD的長度。
【考點精析】利用平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．