Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，
DF＝8cm．E，F兩點在BC邊上，DE，DF兩邊分別與AB邊交于G，H兩點．現固定△ABC不動，△DEF從點F
與點B重合的位置出發，沿BC以1cm/s的速度向點C運動，點P從點F出發，在折線FD—DE上以2cm/s的速
度向點E運動．△DEF與點P同時出發，當點E到達點C時，△DEF和點P同時停止運動．設運動的時間是
t（單位：s），t＞0．
（1）當t＝2時，PH=    cm ，DG =    cm；
（2）t為多少秒時△PDE為等腰三角形？請說明理由；
（3）t為多少秒時點P與點G重合？寫出計算過程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代數式表示）．

Answer 1

（1），
（2）只有點P在DF邊上運動時，△PDE才能成為等腰三角形，且PD=PE．（如圖6）

∵ BF=t，PF=2t，DF＝8，
∴ ．
在Rt△PEF中，=．
即．
解得 ．
∴ t為時△PDE為等腰三角形．
（3）設當△DEF和點P運動的時間是t時，點P與點G重合，此時點P一定在DE邊上，DP= DG．
由已知可得，．
∴
∴
∴ ，
，

∵ ，
∴ ．
由DP=DG得．
解得 ．
　檢驗：，此時點P在DE邊上.
∴ t的值為時，點P與點G重合．
　　　（4）當0＜t≤4時，點P在DF邊上運動（如圖6），．
當4< t≤6時，點P在DE邊上運動（如圖7），作PS⊥BC于S，則．
　　　　　
可得．
　　　　此時，
．
．
∴
綜上所述，
（以上時間單位均為s，線段長度單位均為cm）

（1）當t=2，得到BF=2，PF=4，根據BF：BC=HF：AC，即可求出HF，從而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG；
（2）根據題意得到PD=PE，則BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t²+36=（8-2t）²，解得t=．
（3）設當△DEF和點P運動的時間是t時，點P與點G重合，此時點P一定在DE邊上，DP=DG．根據正切的定義得到tanB=tanD=，則FH=t，DH=8-t，得到DG=-t+，而DP+DF=2t，于是有2t-8=-t+，即可解得t的值；
（4）分類討論：當0＜t≤4時，點P在DF邊上運動，tan∠PBF==2；當4＜t≤6時，點P在DE邊上運動，作PS⊥BC于S，PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．tan∠PBF=．