Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，P為底邊BC上任意點，過P作兩腰的平行線分別與AB，AC相交于Q，R兩點，又P′是P關于直線RQ的對稱點，證明：P′在△ABC的外接圓上．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

先利用四邊形ARPQ為平行四邊形，根據同弧所對圓周角相等，證明P'，A，R，Q四點共圓,再證明∠AP'B和∠BCA互補，證明 ABCP'四點共圓.

證明：連接P'Q，P'A，QR，BP′，

∵QP∥AC，PR∥AB

∴四邊形ARPQ為平行四邊形

∴∠QAR=∠RPQ，

由對稱關系得到，∠RPQ=∠RP'Q，

所以∠QAR=∠QP'R，

所以P'，A，R，Q四點共圓，

∴∠QP'R=∠BAC,

同理得到∠QBP'=∠QP'B，∠RP'A=∠BAP',

∴可以得到∠AP'B+∠BCA =180度，所以ABCP'四點共圓，

∴P′在△ABC的外接圓上．