Question

【題目】如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角尺（∠M=30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．

(1)若將圖1中的三角尺繞點O以每秒5°的速度，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)t秒，當OM恰好平分∠BOC時，如圖2．

①求t值；

②試說明此時ON平分∠AOC；

(2)將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設∠AON=α，∠COM=β，當ON在∠AOC內(nèi)部時，試求α與β的數(shù)量關(guān)系；

(3)若將圖1中的三角尺繞點O以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)的同時，射線OC也繞點O以每秒8°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，那么經(jīng)過多長時間，射線OC第一次平分∠MON?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①t=3；②見解析；（2）β=α+60°；（3）t=5時，射線OC第一次平分∠MON.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及余角補角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到結(jié)論；

（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系和OC平分∠MON列方程求解即可．

（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°．

∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；

②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．

（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°；

（3）設旋轉(zhuǎn)時間為t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．

即t=5時，射線OC第一次平分∠MON．