Question

【題目】如圖，直線l：y=kx+b（k＜0）與函數y= （x＞0）的圖象相交于A、C兩點，與x軸相交于T點，過A、C兩點作x軸的垂線，垂足分別為B、D，過A、C兩點作y軸的垂線，垂足分別為E、F；直線AE與CD相交于點P，連接DE，設A、C兩點的坐標分別為（a， ）、（c， ），其中a＞c＞0．
（1）如圖①，求證：∠EDP=∠ACP；

（2）如圖②，若A、D、E、C四點在同一圓上，求k的值；

（3）如圖③，已知c=1，且點P在直線BF上，試問：在線段AT上是否存在點M，使得OM⊥AM？請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由題意可知P（c， ），E（0， ），D（c，0），

∴PA=a﹣c，EP=c，PC= ﹣ = ，DP= ，

∴ = = ，且∠EPD=∠APC，

∴△EPD∽△CPA，

∴∠EDP=∠ACP

（2）

如圖1，連接AD、EC，

由（1）可知DE//AC，

∴∠DEC+∠ECA=180°，

∵A、D、E、C四點在同圓周上，

∴∠DEC+∠DAC=180°，

∴∠ECA=∠DAC，

在△AEC和△CDA中

∴△AEC≌△CDA（AAS），

∴CD=AE，即a= ，可得ac=4，

∵A、C在直線l上，

∴ ，解得k= =﹣ =﹣1

（3）

假設在線段AT上存在點M，使OM⊥AM，連接OM、OA，作MN⊥x軸于點N，如圖2，

∵c=1，

∴C（1，4），F（0，4），P（1， ），B（a，0），

設直線BF的解析式為y=k′x+4，由題意可得 ，解得a=2，

∴A（2，2），

∴AP為△DCT的中位線，

∴T（3，0），

∴AT= =

∵S△OAT= OTAB= ATOM，

∴OM= = = ，

在Rt△OMT中，MT= = = ，

同理可求得MN= = ，

在Rt△OMN中，ON= = = ，

∵2＜ ＜3，

∴點M在線段AT上，

即在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，M點的坐標為（ ， ）

【解析】（1）由P、E、D的坐標可表示出PA、EP、PC和DP的長，可證明△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性質可證得結論；（2）連接AD、EC，可證明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐標代入直線l解析式，可求得k的值；（3）假設在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，連接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐標，利用直線BF的解析式可求得a的值，可求得A點坐標，可求得T點坐標，在△OAT中，利用等積法可求得OM的長，在RtOMT中可求得MT的長，作MN⊥x軸，同理可求得MN的長，則可求得ON的長，可判斷N在線段BT上，滿足條件，從而可知存在滿足條件的M點．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小．