Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，．動(dòng)點(diǎn)在上從點(diǎn)向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在射線．上從點(diǎn)沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到EF的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，， 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求的長(zhǎng)．

（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變的取值范圍．

（3）連接，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）的值為或12

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得：∠B＝90°，在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)；

（2）已知，，根據(jù)“當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到EF的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合”，即可求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖3-1和3-2中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)相似三角形的判定定理可證得，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得EH，CH的長(zhǎng)，然后分三種情況討論：①，②，③，排除掉不存在的情況，繼而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．

(1)∵四邊形是矩形，

∴，，，

∵，

∴，

∴．

（2）由題意得：，

即．

∴（）．

（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠ECD＝∠ECH＝90°，

又∵∠BEF＝∠CEH，

∴，

∴，

∴，

∴,，

①如圖3-1，當(dāng)時(shí)，△HMN∽△HFD，

∴，即，

解得，

②當(dāng)時(shí)，這種情形不存在．

③如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，△HED∽△HMN，

∴，即，

∵，解得，

綜上所述，滿足條件的的值為或12．