Question

如圖，在平面直角坐標系中有一矩形ABCO（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為(0，6)，將△BCD沿BD折疊(D點在OC邊上），使C點落在DA邊的E點上，并將△BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD邊的F點上．

（1）求BC的長，并求折痕BD所在直線的函數解析式；
（2）過點F作FG⊥x軸，垂足為G，FG的中點為H，若拋物線經過B,H, D三點，求拋物線解析式；
（3）點P是矩形內部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B, D點），過點P作PN⊥BC，分別交BC 和 BD于點N, M，是否存在這樣的點P，使如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE。
又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE。
又∵四邊形OCBA為矩形，∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。
在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD。
∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，∴OD=2，D（0，2）。∴CD=4。
在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4，∴B（4，6）。
設直線BD的解析式為y=kx+b，由題意得：，解得。
∴直線BD的解析式為：。
（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE．
由（1）易得：OE=2，∴FE=AE=2。
∴FG=3，GE=。∴OG=。
∵H是FG的中點，∴H（，）。
∵拋物線經過B、H、D三點，
∴，解得。
∴拋物線解析式為。
（3）存在。
∵P在拋物線上，∴設P（x，），M（x，），N（x，6）。
∵S_△BNM=S_△BPM，∴PM=MN．即：。
整理得：，解得：x=2或x=4。
當x=2時，；
當x=4時，，與點B重合，不符合題意，舍去。
∴P（2，2）。
∴存在點P，使S_△BNM=S_△BPM，點P的坐標為（2，2）。

試題分析：（1）首先由折疊性質得到∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°，然后解直角三角形得到點D、點B的坐標，最后用待定系數法求出直線BD的解析式；
（2）點B、D坐標已經求出，關鍵是求出點H的坐標．在Rt△FGE中，解直角三角形求出點H的坐標，再利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（3）由S_△BNM=S_△BPM，且這兩個三角形等高，所以得到PM=MN．由此結論，列出方程求出點P的坐標。