Question

如圖，P是正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心，將△ABP按順時針方向旋轉，使點A與點C重合，這時P點旋轉到了G點．
（1）請畫出旋轉后的圖形，說出此時△APC繞點B旋轉了多少度？
（2）求出PG的長度（可以不化簡）．
（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由．
（4）求∠APB的度數．

Answer 1

解：（1）旋轉后的△BCG如圖所示，
∵正方形ABCD，
∴對應邊AB與BC的夾角∠ABC=90°，
則旋轉角為90°；

（2）連接PG，由旋轉的性質可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG為等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG==2；

（3）△PGC為直角三角形，理由如下：
證明：由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=2 ，
∵PG²+CG²=（2）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC為直角三角形；

（4）由旋轉可知∠APB=∠BGC，
由（2）得到△BPG為等腰直角三角形，所以∠PGB=45°，
由（3）得到△PGC為直角三角形，所以∠PGC=90°，
則∠APB=∠BGC=∠PGB+∠PGC=90°+45°=135°．
分析：（1）根據正方形的性質得到∠ABC=90°，將△ABP沿順時針方向旋轉，使點A與點C重合時，旋轉角為90°；
（2）連接PG，證明△BPG為等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）猜想△PGC為直角三角形，理由：由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判斷△PGC為直角三角形；
（4）由（3）得到∠PGC為直角，又（2）得到△BPG為等腰直角三角形，即可求出∠BGC的度數，由旋轉可知∠APB等于∠BGC，即可得到∠APB的度數．
點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理及其逆定理的運用．解本題的關鍵是由旋轉角為90°，對應邊相等，得出等腰直角三角形．