Question

【題目】如圖，在中， ，點在上，點在的內部， 平分，且.

（1）求證： ；

（2）求證：點是線段的中點.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】試題分析：（1）過點E作EM⊥CD于M，EN⊥BD于N，根據角平分線的性質可得EM＝EN，再利用“HL”證明RtΔECM≌RtΔEBN，得出∠MCE＝∠NBE，再根據等腰三角形的性質得出∠ECB＝∠EBC，證出∠DCB＝∠DBC，最后根據等角對等邊即可得出結論；

（2）根據等角的余角相等得出∠A＝∠ABD，根據等角對等邊得出AD＝BD，又CD＝BD，等量代換即可得出結論．

試題解析：

證明：（1）過點E作EM⊥CD于M，EN⊥BD于N，

∵ DE平分∠BDC，∴ EM＝EN.

在RtΔECM和RtΔEBN中，

∴ RtΔECM≌RtΔEBN.

∴ ∠MCE＝∠NBE.

又∵ BE＝CE，∴ ∠ECB＝∠EBC.

∴ ∠DCB＝∠DBC.

∴ BD＝CD.

（2）∵ △ABC中，∠ABC＝90°，

∴ ∠DCB＋∠A＝90°，∠DBC＋∠ABD＝90°.

∵∠DCB＝∠DBC，

∴ ∠A＝∠ABD.

∴ AD＝BD.

又∵ BD＝CD.

∴ AD＝CD，即：點D是線段AC的中點．