Question

這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按這個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應了，結果國王輸了．
（1）我們知道，國際象棋共有64個格子，則在第64格中應放多少米？（用冪表示）
（2）請探究第（1）中的數的末位數字是多少？（簡要寫出探究過程．）
（3）你知道國王輸給了阿基米德多少粒米嗎？為解決這個問題，我們先來看下面的解題過程：用分數表示無限循環小數：．
解：設①．等式兩邊同時乘以10，得10x=②．
將②﹣①得：9x=2，
則．
∴請參照以上解法求出國王輸給阿基米德的米粒數（用冪的形式表示）

Answer 1

解：（1 ）第64 個格子，應該底數是2 ，指數63 ，所以為2⁶³ ；
（2 ）∵2¹=2 ，2²=4 ，2³=8 ，2⁴=16 ，2⁵=32 …
∵63 ÷4=20 …3 ，
∴2⁶³ 的末位數字與2³ 的末位數字相同，是8 ；
（3 ）設x=1+2+2²+ …+2⁶³ ①．
等式兩邊同時乘以2 ，得2x=2+2²+2³+ …+2⁶⁴ ②
②- ①，得x=2⁶⁴-1 ．
答：國王輸給阿基米德的米粒數為2⁶⁴-1 ．