Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB邊上的一個動點（異于A、B兩點），過點P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N設AP=x。

（1）在△ABC中，AB＝               ；
（2）當x＝      時，矩形PMCN的周長是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等？請說出你的判斷，并加以說明。

Answer 1

（1）10；（2）5；（3）不存在

解析試題分析：（1）仔細分析題意利用勾股定理求解即可；
（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到，，將AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN關于x的表達式．再由矩形周長=2（PM+PN），求出x的值．
（3）當P為AB的中點時，△PAM的面積與△PBN的面積才相等，再求出矩形PMCN的面積，進行判斷．
（1）∵△ABC為直角三角形，且AC=8，BC=6，

（2））∵PM⊥AC  PN⊥BC
∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∴，
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，

∴矩形PMCN周長=2（PM+PN）=2（x+8-x）=14，解得x=5；
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.
∴AC∥PN，∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB∽△ABC.
當P為AB中點時，可得△AMP≌△PNB
此時S_△AMP=S_△PNB=×4×3=6
而S_矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.
所以不存在x的值，能使△AMP的面積、△PNB的面積與矩形PMCN面積同時相等.
考點：相似三角形的判定和性質，矩形的面積公式
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．