Question

如圖，已知：△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，延長BC到E，使得CE=2BC，取CE的中點D，連接AE、AD．求證：△ACD∽△ECA．

Answer 1

分析：由CE=2BC，CE的中點D，即可得CD=DE=BC，又由∠ABC=90°，AB=BC，即可求得AC=

2

BC，則可求得

AC

CD

=

CE

AC

，又由∠ACD=∠ECA，根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可證得△ACD∽△ECA．

解答：證明：∵CE=2BC，CE的中點D，
∴CE=2CD=2DE，
∴CD=DE=BC，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴AC=

2

BC，
∴

AC

CD

=

2 BC

BC

=

2

且

CE

AC

=

2BC

2 BC

=

2

，
∴

AC

CD

=

CE

AC

，
又∵∠ACD=∠ECA，
∴△ACD∽△ECA．

點評：此題考查了相似三角形的判定與等腰直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似定理的應用．