Question

已知：如圖，在中，，，，以為直徑的⊙O交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，OB，DE相交于點(diǎn)F。

小題1:（1）求證：是⊙O的切線；
小題2:（2）求EF：FD的值。

Answer 1

小題1:（1）證明：連結(jié)（如圖），   …………………… 1分
∵AC是⊙O的直徑，
∴。  
是的中點(diǎn)，
。
∴
，                                                
。
，
。
。
即。
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴是⊙O的切線 。          ………………………………… 3分

小題2:（2）解：連結(jié)OE。
∵E是BC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴OE∥AB，OE＝AB。
∴△OEF∽△BDF。 
在中，AC ＝ 4，，
根據(jù)勾股定理，得 AB＝ 8，
∴OE＝ 4，
∵sin∠ABC＝，
∴∠ABC＝30°。
∴∠A＝60°。
∴ 是邊長為2的等邊三角形。
∴，BD＝ AB-AD＝6。
∴EF：FD＝OE：BD ＝ 4：6＝2：3 。         …… 5分

略