Question

如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=

m

x

的圖象相交于A、B兩點．
（1）利用圖中條件，求反比例函數與一次函數的關系式；
（2）根據圖象寫出使該一次函數的值小于該反比例函數的值的x的取值范圍；
（3）過B點作BH垂直于x軸垂足為H，連接OB，在x軸是否存在一點P（不與點O重合），使得以P、B、H為頂點的三角形與△BHO相似？若存在，直接寫出點P的坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A坐標代入反比例解析式中求出m的值，確定出反比例解析式，將A與B坐標代入一次函數解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數解析式；
（2）由A與B的橫坐標及0，將x軸分為四個范圍，找出反比例函數圖象位于一次函數圖象上方時x的范圍即可；
（3）在x軸存在一點P（不與點O重合），使得以P、B、H為頂點的三角形與△BHO相似，分三種情況當△OBH≌△P₁BH時；當△OBH∽△BP₂H時；當△OBH∽△BP₃H時，考慮，分別求出此時P的坐標即可．

解答：解：（1）將A（-2，1）代入反比例解析式得：1=

m

-2

，即m=-2，
∴反比例解析式為y=-

2

x

；
將A（-2，1），B（1，-2）代入y=kx+b中得：

-2k+b=1 k+b=-2

，
解得：

k=-1 b=-1

，
∴一次函數解析式為y=-x-1；
（2）根據圖象得：一次函數的值小于該反比例函數的值的x的取值范圍-2＜x＜0或x＞1；
（3）存在，如圖所示：
當△OBH≌△P₁BH時，P₁H=OH=1，即OP₁=2，P₁（2，0）；
當△OBH∽△BP₂H時，得到

BH

OH

=

HP2

HB

，即HP₂=

BH2

OH

=

4

1

=4，即OP₂=OH+HP₂=1+4=5，P₂（5，0）；
當△OBH∽△BP₃H時，得到

BH

OH

=

HP3

BH

，即HP₃=

BH2

OH

=

4

1

=4，即OP₃=P₃H-OH=4-1=3，P₃（-3，0），
綜上，滿足題意P的坐標為（2，0）或（5，0）或（-3，0）．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式，利用了數形結合的思想，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．