Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A(3，1)與點B(0，4)．

(1)求該拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)在第三象限內的拋物線上有一點P，使得PA⊥AB，求點P的坐標；

(3)若點C(，)在該拋物線上，當≤≤3時，1≤≤5，請確定的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ， 頂點坐標為(1，5)； (2)點P的坐標為(－2,－4)； (3) 的取值范圍是：-1≤≤1．

【解析】

（1）將代入，解關于b、c的二元一次方程組，得到解析式進而求出頂點坐標；

（2）分別過B與點P作軸的平行線BD、PE，過點A作軸的垂線交BD于D、交PE于點E，證出AE＝PE，設點P的坐標為，分別用含m的代數式表示出AE和PE的長，進而求出點P的坐標；

（3）根據題意，分別求出q的最大值與最小值，從而確定q的取值范圍．

(1)將代入得

解得

∴，

∴所求的拋物線的解析式為:， 頂點坐標為(1，5)

(2)如圖，分別過B與點P作軸的平行線BD、PE，過點A作軸的垂線交BD于D、交PE于點E

∵PA⊥AB

∴

∴∠DAB+∠PAE＝90°.

由A(3，1)、B(0，4)知BD＝AD＝3

∴∠DAB＝45°

∴∠PAE＝90°－∠DAB＝90°－45°＝45°

∴∠PAE＝∠APE＝45°

∴AE＝PE

設點P的坐標為則

AE＝

PE＝

∴

解得：或(點P在第三象限，不合題意，舍去)

∴時，

∴點P的坐標為(－2,－4).

(3)∵1≤n≤5且拋物線的頂點為(1，5)

∴區間包含頂點

∴的最大值為1

在中，當時，或者

∴的最小值為－1

∴的取值范圍是：-1≤≤1.