Question

【題目】如圖，已知四邊形中，對角線相交于點，且，，過點作，分別交于點.

(1)求證: ；

(2)判斷四邊形的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BED是菱形，理由見解析.

【解析】

（1）根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而可根據ASA證明ΔAOE≌ΔCOF；

（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根據OB=OD可得四邊形BEDF是平行四邊形，再根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證得四邊形BEDF是菱形.

（1）∵OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）四邊形BEDF是菱形，理由如下：

∵△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

又∵EF⊥BD，

∴平行四邊形DEBF是菱形.