Question

如圖，AB是半圓的直徑，弦CD∥AB，過點B的切線交AD的延長線于E，過點E作EF⊥AC交AC的延長線于F，求證：AC=CF．

Answer 1

證明：連接BC，設交AE于G點，
∵弦CD∥AB，AB是半圓的直徑，
可證得：△BAC≌△ABD，
∴∠BAG=∠ABG，
∴AG=BG
∵點B是半圓的切線，
∴∠BAG+∠BEA=90°，∠BAG=∠ABG，
∠ABG+∠EBG=90°，
∴∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG，
∴AG=BG=EG，
則點G為直角三角形ABE斜邊上的中點，
∵AB是半圓的直徑，
∴BC⊥AC，EF⊥AC，
∴BC∥EF，
∵G為AE的中點，
∴CG為中位線，
∴C為AF中點．
分析：連接BC，設交AE于G點，則易證G為直角三角形ABE斜邊上的中點，又BC垂直于AC，EF垂直于AC，所以BC平行于EF，所以CG為中位線，所以C為AF中點．
點評：此題主要考查了切線的性質定理，以及平行線分線段成比例定理和直角三角形的性質，綜合性較強．