Question

（圖1）為一銳角是30°的直角教學三角尺，其框為木質制成（內、外直角三角形對應邊互相平行，且對應邊之間的距離相等）．將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C恰好與⊙O相切（如圖2），求直角三角尺（框）的寬和面積．

Answer 1

解：過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，如圖，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′與⊙O相切，
∴OD為⊙O的半徑，即OD=OA=OB=AB=×4=2，
在Rt△AOE中，
∵∠A=30°，
∴OE=OA=×2=1，
∴DE=OD-OE=2-1=1，
在Rt△ABC，AB=4，∠BAC=30°，
∴BC=AB=2，AC=BC=2，
∴S_△ABC=BC•AC=2；
設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，如圖，
∴∠AMH=30°，AH=1，
∴AM=2AH=2，
而CN=1，
∴MN=AM+AC+CN=3+2，
在Rt△MB′N中，∠B′MN=30°，MN=3+2，
∴B′N=MN=+2，
∴B′C′=B′N+NC′=+3，
在Rt△A′B′C′中，∠A′=30°，
∴A′C′=B′C′=3+3，
∴S_{△A′B′C′}=A′C′•B′C′=（3+3）（+3）=9+6，
∴直角三角尺（框）的面積=S_{△A′B′C′}-S_△ABC=9+6-2=9+4，
所以直角三角尺（框）的寬和面積分別為1cm、（9+4）cm²．
分析：過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC∥A′C′得到AC⊥OD，而A′C′與⊙O相切，根據切線的性質得到OD為⊙O的半徑，即OD=OA=OB=AB=×4=2，由∠A=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系可得OE=OA=×2=1，則DE=OD-OE=2-1=1；在Rt△ABC，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到BC=AB=2，AC=BC=2，于是有S_△ABC=BC•AC=2；
設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，則有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可計算出MN=AM+AC+CN=3+2，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三邊的關系得到B′N=MN=+2，則B′C′=B′N+NC′=+3，在Rt△A′B′C′中，再利用含30°的直角三角形三邊的關系得到A′C′=B′C′=3+3，于是有S_{△A′B′C′}=A′C′•B′C′=（3+3）（+3）=9+6，然后利用直角三角尺（框）的面積=S_{△A′B′C′}-S_△ABC計算即可．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理、解直角三角形以及含30°的直角三角形三邊的關系．