Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于點C，OC = 3OA，D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在拋物線上，tan∠ACP = ，求P點的坐標；

（3）將拋物線沿直線y = x + b翻折，若點D的對應點E落在△ABC的內部（含△ABC的邊）時，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2-2x-3；(2) P(,)；(3) ≤b≤-2．

【解析】

(1)由A（-1，0）和OC = 3OA確定C點坐標,然后使用待定系數法解答即可；

（2）過A作AM⊥AC交CP于M ，tan∠ACP =,則△AOC∽△MNA，有,則,MN=AO=,AN=OC=4,可得ON=AN-AO=3,則M(3, ),再確定CM的解析式,在于拋物線解析式聯立即可完成解答;

（3）分E在A上和E在AO與BC的交點兩種情況討論求出臨界點即可．

解：∵A（-1，0），OC = 3OA

∴C(0,-3)

則有 即

∴拋物線的解析式為y＝x2-2x-3；

（2）過A作AM⊥AC交CP于M,過M作MN⊥x軸,垂足為N

∴tan∠ACP=

易證∠ACO=∠MAN, ∠AOC=∠MNA,

∴△AOC∽△MNA

∴

∴MN=AO=,AN=OC=4

∴ON=AN-AO=3

∴M(3, )

利用待定系數法可得CM的解析式為:y=

聯立 解得 或

∴P(,)

(3)tan∠ADH=

∴

①E在A上時,DE的中點(0,-3)在y=-x+b上,解得b=-2

②E在AO與BC的交點,BC的解析式為y=x-3;AO的解析式為y=-2x-2

聯立可得E(,-)

∴DE的中點為( ,-)在y=-x+b上,解得b=-

∴≤b≤-2