Question

【題目】如圖，取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADE（含30°），將三角板ABC（含45°）繞點A順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°＜α≤45°），試問：

（1）當∠α=度時，能使圖2中的AB∥DE；
（2）當旋轉到AB與AE重疊時（如圖3），則∠α=度；
（3）當△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，直接寫出旋轉角α的所有可能的度數；
（4）當0°＜α≤45°時，連接BD（如圖4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小變化情況，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）15
（2）45
（3）解：當△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，旋轉角α的所有可能的度數為15°，45°，105°，135°，150°．如圖a﹣e所示：

①當AD∥BC時，α=15°；②當DE∥AB時，α=45°；③當DE∥BC時，α=105°；④當DE∥AC時，α=135°；⑤當AE∥BC時，α=150°．

（4）解：如圖4，當0°＜α≤45°時，∠DBC+∠CAE+∠BDE=105°，保持不變；

理由如下：設BD分別交AC、AE于點M、N，

在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°，

∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，

∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，

∵∠C=30°，∠E=45°，

∴∠DBC+∠CAE+∠BDE=180°﹣75°=105°．

【解析】解：（1）如圖2，當AB∥DE時，∠BAE=∠E=30°，

∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°-30°=15°，
即∠α=15°，
所以答案是：15；
（2）當旋轉到AB與AE重疊時，∠α=∠BAC=45°，
所以答案是：45；．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的判定與性質的相關知識，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質．