Question

【題目】在現實生活中，我們會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為 ：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準矩形”ABCD中，P為DC邊上一定點，且CP=BC，如圖所示．
（1）如圖①，求證：BA=BP；

（2）如圖②，點Q在DC上，且DQ=CP，若G為BC邊上一動點，當△AGQ的周長最小時，求 的值；

（3）如圖③，已知AD=1，在（2）的條件下，連接AG并延長交DC的延長線于點F，連接BF，T為BF的中點，M、N分別為線段PF與AB上的動點，且始終保持PM=BN，請證明：△MNT的面積S為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖①中，設AD=BC=a，則AB=CD= a．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵PC=AD=BC=a，

∴PB= = a，

∴BA=BP

（2）

解：如圖②中，作Q關于BC的對稱點Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最小．

設AD=BC=QD=a，則AB=CD= a，

∴CQ=CQ′= a﹣a，

∵CQ′//AB，

∴ = = =

（3）

證明：如圖③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，

∵S△MNT= THCK+ THBK= HT（KC+KB）= HTBC= HT，

∵TH//AB//FM，TF=TB，

∴HM=HN，

∴HT= （FM+BN），

∵BN=PM，

∴HT= （FM+PM）= PF= （1+ ﹣1）= ，

∴S△MNT= HT= =定值

【解析】（1）如圖①中，設AD=BC=a，則AB=CD= a．通過計算得出AB=BP= a，由此即可證明；（2）如圖②中，作Q關于BC的對稱點Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最小．設AD=BC=QD=a，則AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′//AB，推出 = = = ；（3）如圖③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT= THCK+ THBK= HT（KC+KB）= HTBC= HT，利用梯形的中位線定理求出HT即可解決問題；