Question

【題目】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形.

（1）求證：BD=CE；
（2）如圖2，若BD的中點為P ， CE的中點為Q ， 請判斷△APQ的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ △ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC =∠DAE=60°.

∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD =∠CAE.

在△ABD與△ACE中 ，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

（2）解：△APQ是等邊三角形，理由如下

∵P是BD中點，Q是CE中點，BD=CE,∴BP=CQ .

∵△ABD≌△ACE ∴∠ABP=∠ACQ .

在△ABP與△ACQ中 ∵ ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，

∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ ，

∴∠BAP+∠CAP =∠CAQ+∠CAP，

∴∠PAQ=∠BAC=60°

∴△APQ是等邊三角形

【解析】第1小題，根據兩個等邊三角形得到AB=AC，AD=AE，∠BAC =∠DAE=60°，然后用邊角邊可證明△ABD≌△ACE，問題得證；第2小題，由第1問的結論和第2問的已知條件可證△ABP≌△ACQ，得到AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，從而可得∠PAQ=∠BAC=60°，于是問題可得證。